Guitarra, trastes y proporción áurea

Supongamos que tenemos una guitarra cuyas cuerdas miden 666’66 mm. En la figura de abajo se representa la primera cuerda, cuya nota al aire es MI.


0____1_____2____3____4____5_____6____7___8____9___10___11___12_ _//_ _P
E___ F____F#____G___G#____A____A#___B___C___C#___D___D#____E’ _ _ //_ _P
MI__FA___FA#__SOL__SOL#__LA___LA#__SI__DO__DO#__RE__RE#___MI'_ _ _// _ _P


Las letras (desde E a E’) corresponden a las notas de la escala cromática temperada en la notación germana, estando la notación latina en la línea de abajo con sus nombres más conocidos por nosotros (desde MI a MI’). Los números representan a los 12primeros trastes y, por tanto, a los doce grados de la escala cromática temperada de la tonalidad de Mi mayor. El cero se corresponde con la cejilla y la letra P con el puente.



La guitarra tiene sus trastes colocados de tal manera que las notas que dan se corresponden con la escala temperada. Lo mismo ocurre con el teclado del piano y, en general, con todos los instrumentos, si bien algunos (como los de la familia del violín, el trombón y la voz humana) tienen posibilidades de usar la escala natural. Pero las dificultades que encerraban las diferentes gamas (y escalas) naturales, dieron lugar (hacia finales del siglo XVII) a la adopción de la escala temperada, en la cual cada octava está dividida en 12 semitonos exactamente iguales. Para ello se usa la razón geométrica del semitono. Partiendo de 2, que es la razón geométrica del intervalo de octava en escala temperada, vemos que 2 elevado al 1 dividido por 12 (o lo que es lo mismo, la raíz en base 12 de 2) es igual a 1,059463094. Y este número es la razón geométrica del semitono, igual para todos los instrumentos en la escala temperada.

Para saber la distancia entre la cejilla y el primer traste, hay que hallar primero la distancia entre primer traste y el puente, para lo cual se divide la longitud total de la cuerda por la razón geométrica del semitono (que ya sabemos que es 1,059463094)lo que nos da la cifra de 629,243252 mm. Ahora, esta longitud se resta a la longitud total y queda: 666,66 – 629,243252 = 37,423348 mm y esa es la distancia desde la cejilla al primer traste. La posición de los demás trastes se encuentra siguiendo el mismo procedimiento.

Longitud total de la cuerda: EP = 666.66
Long. entre primer traste y puente: FP = 666,66 / 1,059463094 = 629,243252
Long. entre segundo traste y puente: F#P = 629,243252 / 1,059463094 = 593,926542
Long. entre tercer traste y puente: GP = 593,926542 / 1,059463094 = 560,592007
Y así en las demás cuerdas.
Restando las longitudes así obtenidas de la longitud total de la cuerda se obtienen las distancias desde la cejilla a los diferentes trastes. Una vez conocidas estas magnitudes, podemos hallar las demás distancias en las cuerdas de la guitarra: la distancia entre cualquier traste y el puente o la cejilla, así como la distancia entre dos trastes, ya estén contiguos o separados.


Proporción áurea y trastes de guitarra.

A los efectos de la proporción áurea, interesa conocer las distancias entre la cejilla y los trastes 4 y 7.
G#P = 533,328 mm. Y BP = 444,440 mm. Restando éstas longitudes dela cuerda total, nos da:
EG# = 666,66-533,328 = 133,332 mm (distancia desde la cejilla al traste nº 4)
EB = 666,66 – 444,440 = 222,22 mm.(distancia desde la cejilla al traste nº 7)

El intervalo musical que hay entre E y B (es decir entre la cuerda al aire y pisando en el traste 7) es de una quinta justa (tres tonos y un semitono). El que hay entre E y G# (o sea, entre la cuerda al aire y el traste nº 4) es de una tercera mayor (dos tonos). Y el que hay entre G# y B (entre trastes 7 y 4) es un intervalo de tercera menor (un tono y un semitono).

Si ahora dejamos la escala de doce notas (cromática temperada) y nos ceñimos a la de siete (escala diatónica temperada), para estos siete grados en la tonalidad de MI mayor, los valores correspondientes a la longitud de la cuerda que queda libre para sonar son los siguientes (se apreciarán ligeras diferencias en los decimales debido a que éstos se han tomado sólo tres cuando en la “realidad” son infinitos):

EP = 1/1 x 666’66 = 666’660 mm. ------ MI (que es la primera cuerda)
F#P = 8/9 x 666’66 = 592’586 mm. ------- FA#
G#P = 4/5 x 666’66 = 533’328 mm. ------- SOL#
AP = 3/4 x 666’66 = 499’995 mm. ------ LA
BP = 2/3 x 666’66 = 444’440 mm. ------- SI
C#P = 3/5 x 666’66 = 399’996 mm. ------- DO#
D#P = 8/15 x 666’66 = 355’552 mm. ------- RE#
E’P = 1/2 x 666’66 = 333’330 mm. ------ MI’

Si medimos con una regla milimetrada las distancias, vemos que se cumplen entre ellas la siguiente proporción: EB/EG# = EG#/G#B (El intervalo de quinta justa dividido por el de tercera mayor es igual al de tercera mayor dividido por el de tercera menor). Por el método anterior podemos hallar esas distancias, y resulta que: 221’71783 / 137’53161 = 137’53161 / 84’18622. El resultado se acerca tanto más
a 1’618 cuantos más decimales se consideren. Este es el llamado Número de Oro o Proporción áurea, es un número inconmensurable dado que tiene infinitos decimales.

La regla del 18
Muchos guitarreros encuentran la posición correcta de cada traste dividiendo la longitud total de la cuerda por 18, encontrándose así la distancia entre la cejilla y el primer traste. En este caso es 666,66 dividido por 18 = 37, 037 milímetros. A continuación, se hace la misma operación partiendo de la longitud de la cuerda desde ese traste hasta el puente, consiguiéndose las sucesivas medidas entre cada dos trastes contiguos. Así, 666,66 – 37,037 = 629,623 mm. Esta cifra se divide de nuevo por 18 y nos da 34,98 mm. Ahora, la suma de los dos espacios de los dos primeros trastes nos da la distancia entre la cejilla y el segundo traste, que es: 37,037+34,98 = 72,017 mm. Restamos esta cantidad de la longitud total de la cuerda y tenemos la distancia del segundo traste hasta el puente: 666,66- 72,017= 594,643 mm. Esta será la cifra que se tendrá en cuenta para hallar la posición del tercer traste. Y así sucesivamente.
Este método no es totalmente empírico, pues existe una fórmula matemática para dar con ese número, que se podría denominar “divisor constante“. Ahora bien, esa fórmula no da como resultado el número 18, sino uno ligeramente inferior: 17,81985099. La diferencia con 18 es 0,18014901 (o sea, unas ciento ochenta milésimas) y esa diferencia se puede tolerar ya que hay otros procedimientos que entran a formar parte del ajuste final de la afinación de la guitarra, los cuales van a contrarrestar adecuadamente esta imposibilidad matemática de una exactitud perfecta.
La fórmula para hallar esa constante divisoria tiene su origen en la razón geométrica del intervalo de semitono temperado, cosa lógica puesto que lo que se pretende hallar es una correspondencia entre una magnitud física lineal (medida en milímetros) y una magnitud de frecuencias (medida en vibraciones por segundo). Por tanto, se comienza por dividir la longitud total de la cuerda por esa cifra, que ya sabemos que es 1,059463094. Así pues, 666,66 dividido por 1,059463094 es igual a 629,24891275 . Esta cifra se resta de la longitud total de la cuerda: 666,66-629,24891275 = 37,41108725. Y ahora, la longitud total de la cuerda se divide por esta cifra, lo que nos da que: 666,66 dividido por 37,41108725 es igual a 17,81985099. En términos matemáticos, la fórmula es así:


(LT es la longitud de la cuerda, ya sea desde la cejilla hasta el puente o desde cualquier traste hasta el puente).